I Derivati

Scopi e finalità

Gli obiettivi di questo “corso sui derivati” sono principalmente divulgativi e in nessun modo vogliono essere uno stimolo all’utilizzo degli strumenti trattati.

Visto il crescente interesse del mondo degli investitori non istituzionali verso l’utilizzo degli strumenti derivati, complice anche l’offerta sempre più articolata rivolta espressamente a tale categoria di strumenti notoriamente complessi e difficili da valutare sia in termini di prezzo che di rischio/rendimento, ho pensato di proporre delle note esplicative accessibili alla maggior parte degli investitori con un minimo di cultura finanziaria di base.

Per quanto riguarda il caso specifico del mercato italiano, tutte le caratteristiche descrittive dei mercati derivati e dei prodotti trattati si possono reperire nel sito ufficiale della Borsa Italiana, www.borsaitalia.it, nella sezione mercati.

[Ogni errore od omissione sono da imputarsi esclusivamente a mie mancanze e ringrazio anticipatamente chiunque volesse segnalarmeli.]

Mercati a pronti e mercati a termine

La differenza di denominazione dipende sostanzialmente dal momento della regolazione del contratto. Nel mercato a pronti è immediata mentre nel mercato a termine differita nel futuro. Praticamente sul mercato a termine si conclude oggi un contratto, fissandone tutte le caratteristiche, che verrà regolato a scadenza.

Tali mercati nascono storicamente con l’esigenza di frazionare i rischi derivanti dall’aleatorietà del futuro.

I primi prodotti che videro la nascita di mercati a termine furono le “commodities”: prodotti agricoli, minerali etc..

Il mercato a termine serviva per stabilire in anticipo i prezzi ai quali sarebbe stata acquistata/venduta la merce, ciò al fine di evitare sgradite sorprese dovute a particolari condizioni di domanda e di offerta a scadenza.

Ad esempio si consideri un allevatore che sa di dover acquistare una certa quantità di grano tra un po’ di mesi (lo stesso esempio funziona per un’azienda che lavora con l’estero e deve pagare una fattura in valuta); mesi in cui non sa se il tempo sarà bello o brutto e di conseguenza la produzione abbondante o scarsa con le ovvie conseguenze sul prezzo.

Tale allevatore potrebbe accordarsi con l’agricoltore e fissare oggi un prezzo “medio” a cui si scambieranno il prodotto. Hanno diviso il rischio. Se la produzione sarà abbondante e il prezzo relativamente basso, l’agricoltore ci guadagna e l’allevatore ci perde, viceversa accade il contrario.

Nascevano i cosiddetti contratti forward. Contratti in cui al momento della stipula si decide di scambiarsi una determinata quantità di beni (sottostante), ad un prezzo fissato ad una certa data futura. Sono i precursori dei contratti futures; concettualmente identici, ma standardizzati in termini di quantità e scadenze e scambiati su un mercato regolamentato. Si noti che al momento dell’apertura del contratto non ci sono movimenti né di beni né di moneta.

Più o meno contestualmente, e sempre per l’esigenza di trasferire parte del rischio, nascono anche i contratti di opzione. A differenza dei contratti forward e futures, il rischio viene assunto tutto da una sola parte contraente che svolge una funzione da “assicuratore”. Per assumersi il rischio viene compensato dalla controparte tramite il pagamento di un “premio”, che poi rappresenta il costo dell’opzione.

Tale contratto prevede infatti la facoltà dell’acquirente di acquistare (vendere) a scadenza una certa quantità di beni a prezzo prefissato. Il fatto che comporti un diritto del compratore verso un obbligo del venditore mostra bene il trasferimento di rischio dal primo al secondo e giustifica il pagamento del premio. Con il passare del tempo anche questo tipo di contratti si sono via via standardizzati dando origine a dei mercati specifici: i mercati dei derivati.

Da quanto detto finora, il fine originario dei derivati era connesso alla copertura dai rischi delle fluttuazioni del mercato: finalità di hedging. Si è visto infatti che ad esempio con i contratti forward e futures la finalità non era di massimizzare i profitti, ma di ridurne la variabilità.

Dalle caratteristiche intrinseche dei derivati (che verranno analizzate in seguito) emerse poi la figura degli speculatori. Agenti che prendono posizione sul mercato scommettendo su una direzione. La differenza rispetto all’investimento sul mercato a pronti è che sul mercato a termine non è richiesto alcun esborso iniziale (forward) o perlomeno limitato (futures e options) incrementando l’effetto di leva finanziaria dell’investimento.

Infine, come per ogni prodotto trattato su più mercati, compaiono gli arbitraggisti. Tali agenti basano la loro operatività esclusivamente su disallineamenti dei prezzi sui vari mercati cercando di ottenere dei profitti certi senza impieghi di fondi.

Il concetto di arbitraggio

Per introdurne il concetto di arbitraggio, si riporta un aneddoto, leggermente adattato, presentato da H. Varian nel suo articolo apparso sul Journal of Economic Perspective del 1987.

Un famoso economista in vacanza ed un agricoltore si trovano per caso ad attendere lo stesso treno in una stazione. Per ingannare il tempo l'agricoltore propone all'universitario un gioco di indovinelli: ''Io le pongo una domanda'', dice il contadino, ''e se lei non sa rispondere mi darà 100.000 Lire; poi lei mi interrogherà a sua volta e sarò io a darle altrettanto se non saprò rispondere''. ''Certamente'', risponde il professore, ''ma devo avvertirla che io sono xxx, professore di economia e finanza!”. A queste parole il paesano replica: ''allora bisognerà cambiare la regola: lei mi darà sempre 100.000 Lire in caso non sappia rispondere, ma io non le darò che 50.000 Lire se sarò io a non rispondere''. ''D'accordo'', dice l'economista, ''qual’è il vostro indovinello?''. Il contadino riflette un momento e propone: ''chi è che sale la collina su sette piedi e ne ridiscende su tre?'' Il professore, dopo essersi inutilmente scervellato, finisce per confessare la propria ignoranza e, spinto dalla curiosità, chiede imprudentemente qual'è questo strano essere. ''A mia volta non ne so nulla'', risponde maliziosamente l'agricoltore, ''tutto quello che so è che lei mi deve 50.000 Lire!''

Questa storia illustra molto bene ciò che si intende per opportunità di arbitraggio: la possibilità di realizzare un guadagno certo senza alcun impegno di fondi. I mercati in generale, quelli finanziari in particolare, offrono possibilità di arbitraggio che sono ovviamente molto ricercate e costituiscono la funzione principale di alcuni operatori detti appunto arbitraggisti. Sono i loro interventi che, influenzando la domanda e l'offerta, riportano i prezzi verso i loro valori di equilibrio in corrispondenza dei quali tali opportunità non esistono.

Questo è l’assunto fondamentale dei modelli teorici di calcolo dei prezzi. Un prezzo è “giusto” se non consente opportunità di arbitraggio.

L'arbitraggio e il mercato dei cambi.

Uno degli esempi più classici di arbitraggio è quello relativo al mercato dei cambi. Per illustrare la situazione si consideri una giornata in cui si osservano i seguenti tassi di cambio su diversi mercati:

• Euro/Dollaro a Milano 0,9;
• Euro/Yen a Tokio 95;
• Dollaro/Yen a Monaco 100.

In questo caso si può realizzare un profitto di arbitraggio pari a 0,06 Euro. Con un Euro acquistiamo 95 Yen a Tokio, li convertiamo in 0,95 $ a Monaco per riottenere a Milano 0,95/0,9 = 1,06 Euro circa. Si nota immediatamente che tali opportunità possono portare a profitti molto alti se le transazioni sono consistenti. In generale, effettuando degli scambi incrociati di monete dove una unità di moneta A si scambia contro x unità di moneta B e contro y unità di moneta C, non ci sono opportunità di arbitraggio se x unità di moneta B si scambiano contro y unità di moneta C. Nell'esempio si può agevolmente verificare che tale vincolo non è rispettato e, come si è visto, si possono realizzare dei profitti di arbitraggio. Chiamiamo A l’Euro, B il dollaro e C lo Yen: tenendo fissi i cambi dell’Euro, dovrebbe essere che 0,9 Dollari si scambiano con 95 Yen, ovvero il cambio Dollaro/Yen dovrebbe essere 95/0,9=105,55. L’operazione precedente, nella conversione di Yen in Dollari, darebbe 0,9 Dollari che corrispondono esattamente all’Euro di partenza.

Naturalmente nella realtà bisogna tener presenti i costi di transazione e il tempo necessario a chiudere il ciclo; l'incidenza dei costi è ovvia, mentre per quanto riguarda il tempo, tra l'apertura e la chiusura della posizione i corsi potrebbero cambiare e l'operazione da arbitraggio potrebbe diventare speculazione.

L’arbitraggio e i mercati a termine

In questo esempio si considera l'esistenza simultanea di un mercato in contanti (spot) e di un mercato a termine (forward) per uno stesso prodotto. Stipulando un contratto forward, le due parti si impegnano a scambiarsi un bene, detto supporto o sottostante, a scadenza per un prezzo pattuito al momento della sottoscrizione del contratto stesso. In effetti la consegna del bene può non avere luogo in quanto nella maggioranza dei casi le parti contraenti prendono una posizione inversa appena prima della scadenza, bilanciando la precedente, ovvero si dice che chiudono la posizione. Come nel caso precedente, e come verrà ipotizzato durante tutta la trattazione, il mercato è senza frizioni, ovvero: non si considerano tasse, costi di transazione, è possibile prendere a prestito o prestare allo stesso tasso e sono permesse vendite allo scoperto. Inoltre si indica con t la data corrente, con T la scadenza, con S(t) il prezzo (o corso) spot al tempo t, con F(t) il prezzo forward al tempo t (i valori a T saranno indicati con S(T) e F(T)) e con r il tasso senza rischio relativo al periodo T-t.

Il tasso senza rischio verrà definito formalmente più avanti, per il momento si pensi al tasso associato ad un'operazione di cui si è certi del risultato qualunque cosa accada. Generalmente si utilizzano come riferimento i tassi sui Titoli di Stato (BOT in Italia) che, a meno di bancarotta dello Stato (evento a cui si può teoricamente associare, almeno per i paesi più sviluppati, una probabilità nulla), saranno sempre rimborsati al valor nominale.

Consideriamo ora un operatore con aperta una posizione lunga (di acquisto) sul supporto e una posizione corta (di vendita) sul mercato a termine. A scadenza, nel caso che nessuna delle due posizioni venga chiusa prima, il saldo G(T) dell'operazione si scrive:

G(T) = S(T) – S(t) + F(t) – F(T)

Dove – S(t) rappresenta l'esborso in t per acquistare il supporto, F(t) rappresenta l'incasso pattuito in t e liquidato in T relativamente alla vendita a termine, S(T) rappresenta l'incasso relativo alla chiusura della posizione sul supporto in T (vendita del bene) e – F(T) rappresenta l'esborso relativo alla chiusura della posizione a termine in T (acquisto del bene). Ovviamente a scadenza il prezzo spot è uguale al prezzo forward F(T) = S(T), dunque G(T) = F(t) – S(t).

Il saldo a scadenza è allora perfettamente conosciuto al momento in cui si apre la posizione (istante t). L'operazione ha richiesto un investimento pari a S(t) (si ricorda che F(t) è conosciuto oggi ma si otterrà a scadenza) ed il suo rendimento tra t e T è (F(t) – S(t))/(S(t)). Ammettendo una base annua per calcolare il rendimento e denominando = T - t la frazione di anno corrispondente alla durata della posizione, il rendimento R ottenuto è definito da:

R(T-t) = (F(t) – S(t))/(S(t))

e che può essere riscritto come

F(t) = S(t)(1 + R(T-t)).

Per non avere opportunità di arbitraggio deve valere la relazione R = r in quanto anche il rendimento R è senza rischio e, se così non fosse, si potrebbe sfruttare tale possibilità creando una posizione autofinanziata che produca un reddito. Si supponga ad esempio che valga R > r: in tal caso si potrebbe prendere a prestito la somma S(t) e reinvestirla immediatamente nella posizione descritta in precedenza. In t non è richiesto alcun esborso mentre il saldo a scadenza sarà

G(T) = F(t) – S(t)(1 + r(T-t))

dove F(t) rappresenta l'incasso della vendita a termine e S(t)(1 + r(T-t)) il rimborso del prestito.

Sostituendo a F(t) il suo valore si ottiene

G(T) = S(t)(1 + R(T-t)) – S(t)(1 + r(T-t)) = S(t)(T-t)(R - r)

che è sicuramente positivo dall'ipotesi R > r. Si è dunque realizzato un profitto certo senza alcun impegno di fondi, ovvero si è realizzato un profitto di arbitraggio. L'operazione appena descritta si dice cash and carry. Se valesse la disuguaglianza contraria, ovvero r > R, l'operazione che si dovrebbe attuare per sfruttare l'opportunità di arbitraggio, e che si lascia come semplice esercizio al lettore, si dice reverse cash and carry.

Il ruolo del market-maker e il differenziale denaro-lettera (bid-ask spread)

E’ risaputo che la funzione del market-maker è quella di fornire liquidità al mercato, ma perché serve innanzitutto?

Nella realtà dei mercati il prezzo dovrebbe formarsi semplicemente per l’incontro della domanda con l’offerta, ma la cosa potrebe creare dei problemi di ricerca della controparte. Il market-maker ha quindi il compito di sopperire a momentanee carenze sia dal lato della domanda che dal lato dell’offerta quotando costantemente un prezzo a cui è disposto ad acquistare (denaro) e un prezzo a cui è disposto a vendere (lettera). La remunerazione del servizio offerto non è altro che il differenziale tra i due prezzi. Non si deve poi dimenticare che, a causa della sua attività, il market-maker è costretto a detenere un portafoglio e, come tutti gli investitori, deve rispettarne in qualche modo una composizione ottimale.

Dopo aver riflettuto sul fatto che l’immissione di ordini a prezzo limitato fornisce liquidità al mercato (aumenta le possibilità di trovare una controparte) mentre gli ordini al meglio la consumano, si trova anche una giustificazione ai guadagni derivanti dall’attività di “scalping” ultimamente molto diffusa. Se per qualche motivo il market-maker quota spread troppo ampi, gli investitori sono incentivati ad inserire ordini a prezzo limitato aumentando la liquidità del mercato stesso. Lo “scalper” fà di questa attività la propria fonte di guadagno; cerca titoli con spread ampi e immette ordini sia in denaro che in lettera migliorando i prezzi del market-maker. I guadagni quindi sono ampiamente giustificati interpretando tale attività come offerta di liquidità piuttosto che in ottica di speculazione.

Fattori che influenzano lo spread

  Frequenza delle transazioni: i titoli con transazioni frequenti permettono di eseguire rapidamente i programmi di acquisto e vendita per bilanciare le posizioni quindi in genere esibiscono spread contenuti. Al contrario i titoli poco scambiati avranno spread ampi poiché il servizio offerto acquista maggior valore e, d’altro canto, perché al market-maker stesso risulta più difficile ribilanciare il portafoglio.

  Volume delle transazioni: intanto si premette che generalmente il market-maker sono tenuti a fare prezzo per una certa quantità di titoli. Se arrivasse un ordine con volumi di molto superiori, anche senza considerarne le implicazioni, solo per essere assorbito implicherebbe l’assunzione di una posizione indesiderata e difficile da bilanciare. L’effetto ovvio è un allargamento dello spread per compensare le eventuali difficoltà.

  Volatilità dei prezzi: più o meno agisce come sopra. In caso di forte volatilità le procedure di bilanciamento delle posizioni potrebbero divenire problematiche a causa dei veloci movimenti di prezzo quindi lo spread aumenta con l’aumentare della volatilità.

  Presenza di “insider” (possessori di informazioni riservate”: è dimostrato che con gli insider i market-maker sono sempre in perdita. Lo sono per definizione poiché tutto sommato un market-maker non ha a disposizione tali informazioni. Generalmente un insider immette prezzi al meglio perché vuole essere sicuro di essere eseguito nel minor tempo possibile; non importa pagare qualche tick in più o incassarne qualcuno in meno tanto è sicuro della direzione che prenderà il titolo. Altro fattore importante è il volume correlato alla presenza di insider, generalmente più elevato della media. Solo la possibile esistenza di tali operatori (l’insider trading è vietato e perseguito, ma non è per nulla facile dimostrarlo) giustifica un ampliamento dello spread al fine di tutelarsi. Potrebbe darsi che in certe situazioni particolari, ordini al meglio di ammontari insolitamente elevati, il market-maker abbia l’impressione di trovarsi di fronte a delle informazioni riservate e allarghi lo spread.

Futures

Caratteristiche dei contratti futures

Come si è accennato nell’introduzione, i contratti futures sono standardizzati nelle loro caratteristiche principali. In particolare per quanto riguarda una corretta definizione del sottostante, la dimensione del contratto, i termini di quotazione dei prezzi, la scadenza, il luogo della consegna e la determinazione del prezzo.

  Sottostante: si tratta di definire esattamente il bene oggetto di scambioa scadenza. Il problema maggiore si pone per i beni materiali, le “commodities”. Parlando ad esempio di grano: di che qualità? Con quali caratteristiche organolettiche? E via dicendo. Nel seguito, parlando delle diverse categorie di futures (su commodities, indici, valute, tassi di interesse), verranno analizzate più in dettaglio.

  Dimensione del contratto: specifica la quantità di sottostante oggetto del contratto.

  Condizioni di consegna: premesso che generalmente il problema della consegna non si pone quasi mai (si liquida in contanti), parlando di commodities la cosa potrebbe essere differente. Si definiscono allora i mercati sui quali dovrà avvenire la consegna e in quali termini. Notiamo che ciò potrebbe implicare notevoli costi di trasporto, immagazzinamento e così via.

  Condizioni di quotazione: si specificano le variazioni di prezzo in termini di tick e di eccesso di variazione (se necessario).

  Limiti di posizione: il massimo numero di contratti che può aprire uno speculatore. Vuole evitare che la speculazione possa “dirigere” il mercato. Ovviamente da tale limite sono esclusi gli hedgers.

Un’altra caratteristica tipica dei contratti futures è l’open interest. Tale quantità non è altro che la somma di tutte le posizioni lunghe (o equivalentemente tutte le operazioni corte) aperte ad una certa data. Le implicazioni sono interessanti: un aumento dell’open interest significa che un numero crescente di operatori assume posizioni indotte da aspettative opposte. Se ad esempio ci si trova in una fase di tendenza definita, tale dato segnala una crescente divergenza di vedute da parte degli operatori circa la futura evoluzione del mercato. Un decremento dell’open interest invece indica un numero crescente di chiusure dei contratti e costituisce l’effetto indotto da una diffusa convergenza di aspettative. La modificazione delle attese speculative nel contesto di fasi espansive o recessive prelude dunque all’avvio di una fase di congestione se non un’inversione di tendenza.

Gli effetti sull’open interest delle diverse “prese di posizione” degli operatori è riassunto nella seguente tabella:

Marking-to-Market: il meccanismo dei margini di garanzia

Non prevedendo esborsi iniziali, una operazione a termine è soggetta al rischio di insolvenza di una delle due parti. Tale rischio è alto per i contratti forward non standardizzati che possono essere semplici accordi bilaterali. Al fine di evitare questa “preoccupazione” agli operatori e rendere il mercato più appetibile viene creata la Cassa di Compensazione; un organismo che raccoglie dei depositi a garanzia del buon fine dell’operazione e si pone come interfaccia per tutti gli operatori eliminando il rischio di insolvenza. La Cassa di Compensazione, per tutelarsi a sua volta, adegua il deposito di garanzia giornalmente per tenere conto del valore delle posizioni in essere.

L’intermediario presso il quale si opera apre un conto apposito per il deposito dei margini di garanzia. Al momento dell’apertura del contratto deve essere depositata una somma variabile (dipende dall’intermediario) non inferiore al 7.5% (in Italia) del valore sottostante al contratto stesso. In genere gli intermediari richiedono un versamento che va dal 10% al 15% del valore del contratto. In nessun caso il saldo del conto margini deve scendere al di sotto della percentuale minima pari al citato 7.5%. Ogni fine giornata si chiude la posizione in essere, si calcolano gli eventuali profitti o perdite che verranno accreditati o addebitate sul conto margini; contestualmente si riapre la posizione al nuovo prezzo. Se per effetto di perdite continuate il saldo del deposito scende al di sotto della soglia minima è richiesto un versamento integrativo (la chiamata di margine, “margin call”).

Un esempio può aiutare a chiarire il concetto.

Supponiamo di acquistare un contratto futures sull’indice di borsa MIB30, il FIB30. Il valore del contratto è calcolato attribuendo ad ogni punto indice il valore di 5 Euro. Se il valore di acquisto iniziale fosse 45000, il valore del contratto sarebbe 45000*5=225000 Euro. Con un deposito iniziale del 10%, 22500 Euro, e un minimo del 7.5%, 16875 Euro, una situazione tipica è riassunta nella seguente tabella:

Se ad esempio il nono giorno non si è in grado di reintegrare il margine, l’intermediario ha la facoltà di non riaprire il contratto garantendo così la solvibilità in ogni momento.

Prezzi dei contratti forward e futures

Sottostante non paga interessi o dividendi nel periodo

Si tratta del caso più semplice. Notando F il prezzo futures, S il prezzo spot e r il tasso senza rischio, con semplici argomentazioni di arbitraggio si può giustificare la relazione

,

la quale afferma che il prezzo futures non è altro che il prezzo spot capitalizzato fino a scadenza al tasso senza rischio (in capitalizzazione continua).

Se fosse  si potrebbe vendere il futures (posizione short), prendere a prestito la somma S per il periodo T-t al tasso r ed acquistare il sottostante. A scadenza: si consegna il sottostante incassando F, con  si rimborsa il prestito e la differenza, positiva per ipotesi, è ilprofitto di arbitraggio.

Allo stesso modo se  si potrebbe acquistare il futures, andare short sul sottostante e investire l’incasso S al tasso r fino a T. A scadenza si ritira il montante , si paga F per riacquistare il sottostante e la differenza, positiva per ipotesi, è il profitto di arbitraggio.

Un altro modo per vedere la cosa è di mettere in relazione il prezzo futures F con il valore della posizione a termine f al momento della stipula del contratto che per definizione deve essere pari a zero. Si considerino i due portafogli seguenti:

1.      Una posizione lunga a termine più contanti (presi a prestito) per un ammontare pari a ;

2.      Una posizione lunga sul sottostante.

I contanti nel portafoglio 1 a scadenza daranno esattamente l’ammontare F che serve per pagare il sottostante in accordo con la posizione lunga a termine. Entrmbi i portafogli dunque consistono nel possedere il sottostante alla data T. Per una ovvia legge del prezzo unico, devono avere lo stesso valore oggi alla data t (se a scadenza ho lo stesso risultato, oggi devono costare uguale). Considerando il valore del contratto oggi si può scrivere

.

Per la legge del prezzo unico citata sopra, deve essere f = 0 quindi

.

Sottostante paga un ammontare conosciuto di interessi o dividendi

Definiamo il valore attuale dell’ammontare conosciuto di interessi o dividendi pagati dal sottostante nel periodo come I. Da considerazioni di arbitraggio deve essere

.

Se fosse , si può prendere a prestito la somma S per acquistare il sottostante e vendere il futures. Detenendo il sottostante si incassa I che viene utilizzato per rimborsare parzialmente il prestito il cui ammontare si riduce a S – I. A scadenza, a fronte di un’entrata pari a F (la vendita a termine) si ha un’uscita pari a  per il rimborso del prestito. La somma  per ipotesi è il profitto di arbitraggio. La situazione contraria è ovvia; si vende il sottostante per acquistare a termine.

Considerando i portafogli come prima, si supponga che il secondo sia costituito dal sottostante più la somma I presa a prestito. Con l’incasso dei dividendi nel periodo si rimborserà esattamente tale prestito a scadenza in modo tale che il portafoglio a T corrisponda esattamente a detenere il sottostante (si deve fare in modo che valga la legge del prezzo unico). Facendo di nuovo intervenire il valore del contratto oggi, si può scrivere

e dovendo essere f = 0

Sottostante paga interessi o dividendi ad un tasso noto

Omettendo le considerazioni di arbitraggio che ormai ognuno dovrebbe essere in grado di verificare (basta vendere il più caro per finanziare l’acquisto del meno caro), ci limitiamo all’applicazione della legge del prezzo unico, nella quale peraltro le considerazioni di arbitraggio sono implicite.

Come prima, tenendo fisso il portafoglio 1, si costruisca il portafoglio 2 invece che con una unità di sottostante, con una frazione pari a  supponendo di reinvestire tutti gli eventuali proventi al tasso r. Ancora una volta si è costruito il portafgolio 2 in modo che a scadenza ci si ritrovi esattamente con una unità di sottostante ( che cresce per effetto dei dividendi al tasso q è ) e renderlo equivalente al portafoglio 1. Il valore della posizione f allora è

e dovendo essere f = 0

Tipologie di contratti futures

Futures su tassi

Si tratta forse della categoria più delicata da trattare. Inoltre necessiterebbe di introdurre la struttura per scadenza dei tassi, parlare di obbligazioni, duration ed altri argomenti che verranno magari trattati in futuro in una parte dedicata alla quale si rinvia.

Futures su commodities

Trattando di beni materiali nelle contrattazioni a termine si pongono una serie di problemi di stoccaggio, deperibilità nonché trasporto al luogo di consegna. Ovviamente tutti fattori che si devono considerare nel calcolo del prezzo a termine.

Si usa innanzitutto calssificare i beni tra beni di investimento (oro, argento e così via) e beni di consumo.

Parlando dei primi e considerando solo i costi di stoccaggio (in cui includiamo l’eventuale deperibilità), se tali costi fossero pari a zero, dovrebbe essere

Se i costi sono stimati in valore assoluto in un ammontare C, possono essere visti come un dividendo negativo. Se allora C e il valore attuale dei costi, si ha

.

Se invece i costi sono stimati proporzionalmente ad un tasso c, per analogia con le considerazioni precedenti si ha

Nel caso di beni di investimento è facilmente dimostrabile che tali relazioni devono valere, argomentazioni di arbitraggio simili alle precedenti lo dimostrano.

Per i beni di consumo potrebbe darsi che il fatto di detenerli fisicamente sia un vantaggio, vuoi per approfittare di momentanee carenze sul mercato piuttosto che per utilizzi in processi produttivi od altri motivi. La conseguenza è che le due relazioni precedenti fissano solo un limite superiore al prezzo del futures, ovvero

e

.

Quello che si può fare è stimare il tasso y che realizza l’uguaglianza, ovvero tale che

e

.

Tale tasso è detto convenience yields e rappresenta una stima dei vantaggi derivanti dalla detenzione fisica del bene. Per i beni di investimento dovrebbe essere y = 0.

Se si osservano prezzi futures decrescenti con la scadenza allora significa che y > r + c.

Futures su valute

In tal caso consideriamo la variabile S come il prezzo ad esempio in euro di una unità di moneta estera. Il detenere moneta estera implica anche essere remunerati al tasso senza rischio del paese straniero. Notando come al solito r il tasso senza rischio domestico e r_f il tasso estero, costruiamo i due portafogli

1.      acquisto futures più contanti pari a ;

2.      un ammontare di sottostante pari a .

In entrambi i casi si ottiene a scadenza una unità di moneta estera. Allora si ha

e ponendo f = 0

.

Se il tasso estero r_f > r si ha che F < S e F decresce all’aumetare della scadenza (la differenza tra S e F aumenta). Se invece r > r_f allora F > S e F cresce all’aumentare della scadenza (la differenza tra F e S aumenta).

Futures su indici di borsa

A prescindere dai problemi di costruzione degli indici e dai problemi di costituire portafogli che lo replicano esattamente, la relazione che fondamentalmente lega il prezzo futures al prezzo spot è quella di titoli che pagano dividendi nel periodo. Supponiamo di stimare nel tasso q i dividendi che verranno staccati dai titoli dell’indice nel periodo; allora deve essere

Copertura di un portafoglio

Un piccolo richiamo di teoria di portafoglio si rende necessario. La conclusione fondamentale del Capital Asset Pricing Model (CAPM) è che l’eccesso di rendimento di un titolo rispetto al tasso senza rischio è proporzionale all’eccesso di rendimento del portafoglio di mercato (sostanzialmente l’indice). Il coefficiente di proporzionalità è detto β ed è un buon indicatore della rischiosità del titolo. Detto M il portafoglio di mercato, il β di un generico titolo t è

la prima scrittura è il rapporto tra la covarianza di i con M e la varianza di M, la seconda esprime lo stesso concetto evidenziando il coefficiente di correlazione tra i e M ( ).

Ovviamente l’indice ha β = 1, così come il futures relativo.

Indichiamo con P il valore del nostro portafoglio e calcoliamone il β. Il numero ottimale di contratti che servono per coprire il portafoglio è allora

.

Si noti che ora il β del portafoglio è nullo.

ESEMPIO: supponiamo di detenere un portafoglio aggressivo, β = 1,5, di titoli del MIB30 che, al momento, quota ad esempio 45000. Supponiamo che sia r = 5% e che nel periodo, ad esempio due mesi, non ci siano stacchi di dividendi. Il valore del FIB30 sarà  circa. Se il valore del nostro portafoglio è P = 300000 Euro, dato che la dimensione del FIB30 attribuisce il valore di 5 Euro ad ogni punto indice, ne risulta che F_tot= 45376*5 = 226880. Applicando la formula risulterebbe

ovvero si dovrebbero vendere 2 contratti futures.

Sul mercato italiano esiste ora il MiniFIB. Tale strumento è identico al FIB salvo che per la dimensione del contratto; in tal caso si attribuisce il valore di 1 Euro ad ogni punto indice. Con i dat precedenti, F_tot = 45376*1 = 45376 da cui

ovvero si devono vendere circa 10 contratti futures per coprire il portafoglio.

Si possono anche utilizzare i futures per modificare il β di un portafoglio.

ESEMPIO: con i dati dell’esempio precedente, si supponga di voler portare il β di portafoglio da 1,5 a 1. Si devono allora vendere dei contratti il cui numero è dato da

Usando il FIB30 non ci riusciamo poiché dovremmo vendere 0,661 contratti. Con il MiniFIB invece si avrebbe

che, pur non consentendo una riuscita perfetta, vendendo 3 MiniFIB fornisce un β di portafoglio di poco superiore all’unità. Se invece volessimo portare il β da 1,5 a 3, si devono acquistare dei contratti futures, il numero è dato da

quindi il raddoppio del β si ottiene acquistando due FIB o 10 MiniFIB (il segno meno davanti al numero significa solo che si è in acquisto e non in vendita).

La formula generale allora si può scrivere come

dove il valore assoluto di n indica il numero di contratti necessari e il segno indica il tipo di posizione: positivo si vendono e negativo si acquistano.

Opzioni

Contratti di opzione: concetti di base

Si tratta ancora di contratti a termine dove il rischio di fluttuazioni dei prezzi è assunto da una sola controparte a fronte dell’incasso di un premio. Alla data della stipulazione del contratto quindi ci si scambia qualcosa (a differenza dei contratti futures dove non ci si scambia nulla) per il quale si paga un corrispettivo, e questo qualcosa è il rischio. Il meccanismo della trasmissione del rischio avviene attraverso la cessione di un diritto esercitabile a (entro) una determinata scadenza.

In particolare, il tipico contratto di opzione conferisce all’acquirente il diritto ad acquistare(vendere) una determinata quantità di sottostante, ad un prezzo fissato a(entro) una scadenza futura. Il venditore (writer) dell’opzione ha il dovere di adempiere al contratto qualora l’acquirente lo richieda.

Il fatto che si acquisti il “diritto” a fare qualcosa, ci fa ben capire il concetto di trasferimento del rischio e la conseguente esistenza di un premio da pagare.

Analizzando le caratterisctiche del contratto singolarmente, si parla di:

  Opzione Call: diritto di acquisto;

  Opzione Put: diritto di vendita;

  Strike Price (base): prezzo al quale si ha diritto ad acquistare (call) o a vendere (put);

  Sottostante: bene oggetto del contratto (come per i futures esistono varie tipologie di sottostante);

  Multiplo o dimensione: quantità di sottostante oggetto del contratto;

  Opzione Europea: il diritto può essere esecitato solo a scadenza;

  Opzione Americana: il diritto può essere esercitato in qualsiasi momento entro la scadenza.

Nel seguito viene utilizzata la seguente notazione:

S = valore corrente del sottostante

K = strike price

T = scadenza

t = data corrente

S_T = valore sottostante a scadenza

r = tasso senza rischio

C = valore di una call

P = valore di una put

s = volatilità del sottostante (deviazione standard dei prezzi).

Per semplicità considereremo sempre un multiplo uguale a 1 parlando in generale, anche perché è il metodo di quotazione usato per il mercato IDEM.

Possiamo ora iniziare a ragionare sul valore a scadenza di un’opzione.

Consideriamo ad esempio una call sul titolo Telecom Italia e siano S = K = 14 e C = 0,3. A scadenza se S_T = 16 converrà esercitare il diritto, acquistare a 14, vendere a 16 ed ottenere un profitto netto di 16-14-0,3=1,7. Ovviamente converrà esercitare fino a che risulterà S_T > K. Si noti che per recuperare interamente le perdite il sottostante deve finire ad almeno K + C, nel nostro caso 14,3. Se S_T < K ovviamente il diritto non verrà esercitato, l’opzione varrà zero e si resta con la perdita dell’intero premio pagato pari a 0,3. Tale situazione può essere riassunta dicendo che il valore a scadenza è il

Max(S_T-K;0)

al quale si toglie il premio pagato per calcolare il payoff totale della posizione.

La seguente tabella excel fornisce il grafico dell’opzione in esempio per una serie di possibili valori di S_T

Ovviamente la posizione del venditore dell’opzione è simmetrica. Il payoff della sua posizione sarà

-Max(S_T-K;0)=Min(K-S_T;0)

a cui si aggiunge il premio incassato.

Per una opzione put, ragionando in modo simile, si ottiene che il payoff per una posizione lunga (acquisto) su put sarà

Max(K-S_T;0)

mentre per una posizione corta sarà

-Max(K-S_T;0)=Min(S_T-K;0)

Se passiamo ora a considerare un istante qualsiasi prima della scadenza, arguiamo immediatamente che deve sempre valere

C >= Max(S-K;0) e P >= Max(K-S;0).

Facciamo l’esempio per una call e ipotizziamo che sia S=10, K=8 e C=1. Si può vendere il titolo a 10 e comprare la call a 1. Se a scadenza il titolo vale più di 8, la call viene esercitata e si chiude la posizione con un profitto di 1 (9-8=1; quanto mi rimaneva in tasca – riacquisto del titolo). Se a scadenza il titolo vale meno di 8, poniamo 7, il profitto è 9-7=2 e più il titolo scende più si guadagna. Tutto senza averci messo nessun capitale; un classico arbitraggio.

Due sono le cose interessanti dell’esempio: la prima è che sembra proprio che la strategia messa in opera (vendita del titolo e acquisto della call) si comporti come un’opzione put; la seconda è che non si può dimenticare il tasso senza rischio.

Rimandando al seguito le precisazioni sulla prima, supponiamo ora che con i dati dell’esempio precedente si abbia anche r = 10%, che sia C = 2,1 e che manchino due mesi a scadenza.

Vendiamo il titolo a 10, acquistiamo la call a 2,1 e mettiamo al tasso senza rischio il rimanente 7,9. A scadenza il montante al tasso senza rischio e 7,9e^-0,1*2/12=8,033. I casi poi sono uguali a prima. Se il titolo quota più di 8, spendo 8 esercitando la call e avanzano 0,033, se il titolo quota meno di 8 guadagno ancora di più. Ancora una volta un profitto certo senza impegno di fondi: un arbitraggio.

La relazione corretta quindi sarà

C >= Max(S-Ke^-r(T-t);0) e P >= Max(Ke^-r(T-t)-S;0).

Utilizzando come al solito i due portafogli, siano:

1.      una call euopea più un ammontare in contanti pari a Ke^-r(T-t)

2.      una unità di sottostante.

Riassumendo in una tabella i possibili payoff a scadenza dei due portafogli si otterrebbe:

Si nota che il primo portafoglio a scadenza vale il Max(S_T,K) mentre il secondo vale sempre S_T. Dal fatto che il valore a scadenza del primo portafoglio è sempre maggiore o uguale al valore del secondo, anche oggi deve valere la stessa relazione, quindi

C + Ke^-r(T-t) > S

C > S - Ke^-r(T-t)

Tenendo conto del fatto che il peggio che può accadere al possessore dell’opzione è di avere un valore pari a zero a scadenza, il valore oggi deve essere positivo, allora

C >= Max(S-Ke^-r(T-t);0).

Per una put si ragiona in modo analogo dove i due portafogli da considerare sono:

3.      una put europea più una unità di sottostante;

4.      un ammontare in contanti pari a Ke^-r(T-t).